Kalkülüsün Kısa Tarihi: Arşimet'ten Weierstrass'a

Kalkülüsün iki temel sorusu çok eskidir: eğri bir şeklin alanı nasıl bulunur ve değişen bir şeyin o andaki hızı nedir? İlk soruya ciddi bir cevabı Antik Yunan verdi. Eudoksos'un geliştirdiği tükenme yöntemiyle bir şeklin içine, alanı bilinen ve giderek küçülen parçalar yerleştiriliyordu. Arşimet (MÖ 3. yüzyıl) bu yöntemle bir parabol kesmesinin alanını ve kürenin hacmini buldu; yaptığı şey, bugün integral dediğimiz fikrin limit sözcüğü olmadan yazılmış haliydi.

Sonraki yüzyıllarda fikir farklı coğrafyalarda ilerledi. İbnü'l-Heysem 11. yüzyılda kuvvet toplamları için formüller bulup bunları bir paraboloidin hacmini hesaplamakta kullandı. Hindistan'da Kerala okulundan Madhava, 14. yüzyılda sinüs, kosinüs ve arktanjant için sonsuz seri açılımlarına ulaştı; Avrupa bu serileri ancak üç yüzyıl sonra yeniden keşfedecekti. 17. yüzyılın ilk yarısında ise parçalar bir araya gelmeye başladı: Descartes ve Fermat eğrileri denklemlerle ifade etti, Fermat teğetleri ve en büyük-en küçük değerleri bulmak için bir yöntem geliştirdi, Cavalieri alanları "bölünmezler"le hesapladı, Barrow teğet problemiyle alan problemi arasındaki ilişkiyi geometrik olarak fark etti.

Bu birikimi tek bir yönteme dönüştüren iki kişi oldu. Isaac Newton 1665-1666 yıllarında "akışlar" (fluxions) yöntemini geliştirdi, ama yayımlamakta çok geç kaldı. Gottfried Wilhelm Leibniz aynı fikirlere 1670'lerin ortasında bağımsız olarak ulaştı ve 1684'te yayımladı. Bugün kullandığımız $\frac{dy}{dx}$ ve $\int$ gösterimleri Leibniz'indir. İkisinin de asıl buluşu, türev almakla integral almanın birbirinin tersi olduğunu, yani kalkülüsün temel teoremini genel bir hesap yöntemi haline getirmeleriydi. Kimin önce bulduğu üzerine çıkan kavga yıllarca sürdü ve iki tarafı da yıprattı; bugün tarihçiler ikisinin birbirinden bağımsız çalıştığı konusunda hemfikir.

Yöntem olağanüstü iyi çalışıyordu; Bernoulli kardeşler ve Euler 18. yüzyılda onunla mekaniği, astronomiyi ve diferansiyel denklemleri baştan kurdular. Ama temeli sağlam değildi: "sonsuz küçük" bir nicelik hem sıfır değilmiş gibi bölünüyor hem sıfırmış gibi atılıyordu. Piskopos Berkeley 1734'te bu nicelikleri "göçüp gitmiş niceliklerin hayaletleri" diye alaya aldı ve eleştirisi haklıydı. Cevap bir yüzyıl sonra geldi: Cauchy 1820'lerde kalkülüsü limit kavramı üzerine oturttu, Weierstrass da limiti bugün derslerde gördüğümüz epsilon-delta tanımıyla kesinleştirdi. Riemann integrali tanımladı; Dedekind ve Cantor gerçel sayıların kendisini sağlam bir zemine yerleştirdi.

Bu tarihin bir öğrenci için söylediği iki şey var. Birincisi, kalkülüs bir dâhinin bir gecede bulduğu bir şey değil; Yunanistan'dan Irak'a, Hindistan'dan Avrupa'ya uzanan iki bin yıllık ortak bir emeğin ürünü. İkincisi, limitin zor gelmesi çok doğal: insanlık türevi kullanmaya başladıktan sonra onu doğru tanımlayabilmek için yaklaşık yüz elli yıl uğraştı. Bir kalkülüs dersinde limitle başlayıp türeve ve integrale geçtiğinizde, tarihin en son ulaştığı noktadan başlamış olursunuz.