Pierre de Fermat: Sayılar Teorisi, Analitik Geometri, Kalkülüs ve Olasılık

Hayatı hakkında kısaca

Tam adı Pierre de Fermat'dır. 1607'de Fransa'da doğdu; babası varlıklı bir tüccardı. 1626'da hukuk lisansını aldı ve hayatının büyük bölümünde avukat olarak çalıştı; yani matematik, boş zamanlarında uğraştığı bir şeydi. Altı dili akıcı konuşuyordu. 1631'de evlendi ve beş çocuğu oldu. 1665'te öldü.

Sayılar teorisi

Fermat'nın küçük teoremi

Teorem. $p$ bir asal sayı ve $p \nmid a$ olsun. O zaman $a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$.

İspat. Şu sayılara bakalım:

$$a,\ 2a,\ 3a,\ \dots,\ (p-1)a.$$

Bu sayıların hepsi mod $p$'de birbirinden farklıdır. Öyle olmasaydı, $n \neq m$ olan bir çift için

$$na \equiv ma \pmod p \implies (n-m)a \equiv 0 \pmod p \implies n - m \equiv 0 \pmod p$$

olurdu, çünkü $p \nmid a$. Ama $1 \le n, m \le p-1$ olduğu için bu mümkün değildir. Demek ki $a, 2a, \dots, (p-1)a$ sayıları bir sıralamayla $1, 2, \dots, p-1$ sayılarına denktir. Hepsini çarparsak

$$a \cdot 2a \cdot 3a \cdots (p-1)a \equiv 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (p-1) \pmod p,$$

yani

$$a^{p-1}(p-1)! \equiv (p-1)! \pmod p \implies a^{p-1} \equiv 1 \pmod p.$$

$(p-1)!$ asal sayı $p$'ye bölünmediği için sadeleştirme yapabiliriz. $\blacksquare$

Fermat'nın son teoremi

Her zaman Fermat'nın son teoremi diye anılsa da 1995'e kadar bir sanı olarak kaldı. İfadesi şöyledir:

Teorem. $n \ge 3$ olan hiçbir tam sayı için $a^n + b^n = c^n$ eşitliğini sağlayan $a, b, c$ pozitif tam sayıları yoktur.

Fermat, İskenderiyeli Diophantus'un Arithmetica kitabının kendi nüshasının kenarına, bunun için dikkate değer bir ispat bulduğunu ama kenar boşluğunun bu ispatı almaya yetmediğini yazdı. Pek çok matematikçinin çabasına rağmen ispat 300 yıldan uzun süre bulunamadı. Tam bir anlatım kısa bir yazının çok ötesinde; ama bu çabaların kabaca haritası şöyle:

1. Fermat, $n = 4$ özel durumunu kendisi ispatladı.
2. Sonraki iki yüzyılda teorem $3$, $5$ ve $7$ üsleri için ispatlandı.
3. 19. yüzyılın ortasında Ernst Kummer teoremi tüm düzenli asallara genişletti.
4. 1955'te Japon matematikçiler Goro Shimura ve Yutaka Taniyama, eliptik eğrilerle modüler formlar arasında bir bağ olduğundan şüphelendi; bu bugün Taniyama–Shimura sanısı olarak bilinir. O zamanlar kimse bunun Fermat'nın son teoremiyle bir ilgisini görmüyordu.
5. 1984'te Gerhard Frey iki problemin bağlantılı olduğunu fark etti: Fermat'nın son teoremine bir karşı örnek, modüler olamayacak bir eliptik eğri verirdi.
6. Çocukluğundan beri bu problemi çözmeyi hayal eden İngiliz matematikçi Andrew Wiles, altı yıl boyunca gizlice üzerinde çalıştı. Taniyama–Shimura sanısının gereken kısmını ispatladı ve Fermat'nın son teoreminin ispatı 1995'te yayımlandı.

Fermat sayıları

Fermat sayısı,

$$F_n = 2^{2^n} + 1, \qquad n \ge 0$$

biçimindeki bir tam sayıdır. $F_n$ asalsa ona Fermat asalı denir. Fermat, Mersenne'e yazdığı bir mektupta $2^{2^n}+1$ biçimindeki sayıların her zaman asal olduğunu bulduğunu yazdı. Ancak 1732'de Euler,

$$F_5 = 2^{2^5} + 1 = 4294967297$$

sayısının $641$'e bölündüğünü gösterdi. Sonsuz sayıda Fermat asalı olup olmadığı bugün bile bilinmiyor.

Kalkülüs ve analitik geometri

Fermat, Descartes'la aynı dönemde analitik geometriyi bugünkü anlamıyla kuruyordu. Doğrunun ve çemberin denklemlerini buldu; hiperboller, paraboller, Fermat spirali ve sonradan Agnesi cadısı diye anılan eğri dahil pek çok eğriyi analitik olarak tanımladı.

Eğrilere teğet bulmak ve eğrilerin altındaki alanı hesaplamak için de yöntemler geliştirdi. Burada bir fonksiyonun maksimum ve minimum noktalarını bulma yöntemini anlatacağım.

Fikri şuydu: sürekli bir fonksiyonun maksimum ya da minimum noktasında, fonksiyonun değerindeki değişim girdideki değişime göre çok küçüktür. Yatay eksendeki değişim

$$e = (a+e) - a = (b+e) - b.$$

Örnek olarak şu fonksiyonu alalım:

$$f(x) = x^3 - 3x. \tag{1}$$

Bir $x$ noktasında fonksiyonun değerindeki fark

$$f(x+e) - f(x) = \left(x^3 + 3x^2 e + 3x e^2 + e^3 - 3x - 3e\right) - \left(x^3 - 3x\right) \tag{2}$$

olur. Maksimum ya da minimumda bu fark çok küçük olduğu için Fermat (2)'yi sıfıra eşitledi:

$$3x^2 e + 3x e^2 + e^3 - 3e = 0. \tag{3}$$

(3)'ün iki tarafını $e$'ye bölersek

$$3x^2 + 3xe + e^2 - 3 = 0 \tag{4}$$

elde ederiz. İkinci varsayımı, $x$'teki değişimin çok küçük olduğuydu; yani (4)'te $e$ yerine $0$ yazılabilir. Böylece

$$3x^2 - 3 = 0 \tag{5}$$

bulunur ve maksimum ile minimum

$$x_1 = 1 \quad \text{ve} \quad x_2 = -1 \tag{6}$$

noktalarındadır.

(5) numaralı denklem tam olarak bugünkü yöntemdir: fonksiyonun türevini sıfıra eşitlemek. Ama bu süreç bazı modern kuralları çiğner. Örneğin (2), $e$'nin hiçbir değeri için gerçekten sıfır değildir; bugün bu adımı limit kavramıyla ele alıyoruz.

Olasılık

Puan problemi (bahsin paylaştırılması diye de bilinir), modern anlamda olasılık teorisinin başlangıç noktası sayılabilir. $A$ ve $B$ adlı iki oyuncu aynı miktarda para yatırır ve turlar halinde bir oyun oynar; her turu $p_A$ ve $p_B$ olasılıklarıyla kazanırlar. Belli bir sayıda galibiyete ilk ulaşan oyuncu paranın hepsini alır.

Turların adil olduğu somut bir örnek alalım. 4 galibiyete ilk ulaşan parayı alacak; $A$'nın 2, $B$'nin 1 galibiyeti var ve bu noktada oyunu bırakmaları gerekiyor. Parayı nasıl paylaşmalılar? Önceki yaklaşımlar parayı oyuncuların o ana kadarki galibiyetlerine göre bölüyordu, ama bu doğru değil. Doğru çözüm Fermat ile Pascal arasındaki mektuplarda ortaya çıktı.

$A$'nın 2, $B$'nin 3 galibiyete daha ihtiyacı olduğu için oyun en fazla 4 tur daha sürerdi. Bu turların gidebileceği eşit olasılıklı 16 yolun hepsini yazabiliriz:

Sonuç	Kazanan	Sonuç	Kazanan	Sonuç	Kazanan	Sonuç	Kazanan
AAAA	A	ABAA	A	BAAA	A	BBAA	A
AAAB	A	ABAB	A	BAAB	A	BBAB	B
AABA	A	ABBA	A	BABA	A	BBBA	B
AABB	A	ABBB	B	BABB	B	BBBB	B

Oyuna devam edebilselerdi $B$, 16 sonucun yalnızca 5'inde kazanırdı. Bu yüzden parayı $A$'ya $\frac{11}{16}$, $B$'ye $\frac{5}{16}$ olarak paylaşmalılar.

Kaynaklar

1. Carl B. Boyer, The Invention of Analytic Geometry, Scientific American, 1949.
2. Howard W. Eves, An Introduction to the History of Mathematics, Saunders, 1990.
3. David M. Burton, Elementary Number Theory, McGraw-Hill Higher Education, 2010.
4. Saul Stahl, Real Analysis: A Historical Approach, John Wiley & Sons, 1999.
5. Pierre de Fermat, Vikipedi.