Kesenden Teğete: Türev
$(a, f(a))$ ve $(a+h, f(a+h))$ noktalarından geçen doğruya kesen denir; eğimi $\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$ olur. Türev, $h$ sıfıra giderken bu eğimin limitidir: $f'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$. Kırmızı doğru kesen, yeşil kesikli doğru teğettir.
Nelere dikkat etmeli?
- $h$ küçüldükçe kesen teğetin üzerine yatar; $h$'nin işareti fark etmez, sağdan da soldan da aynı doğruya yaklaşır.
- $f(x) = |x|$ seçip $a = 0$ alın: $h > 0$ iken eğim hep $1$, $h < 0$ iken hep $-1$ çıkar. İki taraf aynı sayıya gitmediği için limit, yani türev yoktur.
- $f(x) = e^x$ için teğetin eğimi her noktada fonksiyonun o noktadaki değerine eşittir.