Sonlu Gruplar: İşlem Tabloları ve Alt Gruplar
Bir sonlu grubun bütün yapısı işlem tablosundadır: satırdaki eleman ile sütundaki elemanın çarpımı (satır $\cdot$ sütun) kesişimdeki hücrede yazar. Her eleman her satırda ve her sütunda tam bir kez görünür. Burada $8$. mertebeye kadar bütün gruplar (izomorfizme göre) ve $A_4$ var. Bir alt gruba tıklayınca tabloda yalnızca o alt grubun kendi içindeki çarpımlar belirgin kalır. Permütasyonlar soldan sağa çarpılır.
Nelere dikkat etmeli?
- Tablo köşegene göre simetrikse grup değişmelidir. $S_3$, $D_4$, $Q_8$ ve $A_4$'te simetrinin bozulduğu hücreleri bulun.
- Lagrange teoremi: her alt grubun mertebesi grubun mertebesini böler. Tersi doğru değildir: $A_4$'ün mertebesi $12$'dir ama $6$ elemanlı alt grubu yoktur.
- $8$ elemanlı beş grup birbirinden mertebe sayılarıyla ayrılır: $Q_8$'de mertebesi $2$ olan tek eleman vardır, $D_4$'te beş tane.
- $Q_8$ değişmeli değildir, ama bütün alt grupları normaldir.