Taylor Polinomları
Bir fonksiyonun $x = 0$ çevresindeki $n$. dereceden Taylor polinomu $P_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}\,x^k$ olur. Lacivert eğri fonksiyonun kendisi, kırmızı eğri polinomdur. Derece arttıkça polinom fonksiyona daha geniş bir aralıkta yapışır, ama her fonksiyonda her yerde değil.
Nelere dikkat etmeli?
- $\sin x$, $\cos x$ ve $e^x$ için derece arttıkça polinom her $x$'te fonksiyona yaklaşır; yalnızca uzaktaki noktalar için daha çok terim gerekir.
- $\ln(1+x)$, $\dfrac{1}{1-x}$ ve $\arctan x$ için yeşil bandın dışında derece arttıkça polinom fonksiyondan uzaklaşır: seri yalnızca yakınsaklık aralığında işe yarar.
- $\arctan x$ bütün gerçel sayılarda düzgün bir fonksiyondur, ama serisi yine de $|x| \le 1$ dışında ıraksar. Bunun nedeni gerçel eksende görünmez; karmaşık düzlemde $x = \pm i$ noktalarındadır.