Epsilon-Delta: Limitin Tanımı
$\lim_{x \to a} f(x) = L$ demek şudur: her $\varepsilon > 0$ için öyle bir $\delta > 0$ vardır ki $0 < |x - a| < \delta$ olan her $x$ için $|f(x) - L| < \varepsilon$ olur. Yatay bant $L$'nin $\varepsilon$ komşuluğu, düşey bant $a$'nın $\delta$ komşuluğudur. Düşey bandın içindeki eğri parçası yatay bandın içinde kalıyorsa seçtiğiniz $\delta$ o $\varepsilon$ için yeterlidir.
Nelere dikkat etmeli?
- Tanımdaki sıra önemlidir: önce $\varepsilon$ verilir, sonra ona göre $\delta$ aranır. $\varepsilon$'u küçülttükçe genellikle daha küçük bir $\delta$ gerekir.
- Bir $\delta$ işe yarıyorsa ondan küçük her $\delta$ da işe yarar; en büyüğünü bulmak zorunda değilsiniz.
- Delikli örneklerde fonksiyon $a$ noktasında tanımsızdır, ama limit vardır: tanım $x = a$ noktasına hiç bakmaz ($0 < |x - a|$).
- Sıçramalı örnekte $\varepsilon$'u $1$'in altına indirin: hiçbir $\delta$ yetmez. Tek bir $\varepsilon$ için bile $\delta$ bulunamıyorsa limit o sayı değildir.